题目内容

椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两个焦点F1（-c，0）、F2（c，0），M是椭圆C上一点，且满足∠F1MF2=
π
3
．
（1）求椭圆的离心率e的取值范围；（2）设O为坐标原点，P是椭圆C上的一个动点，试求t=
|PF1-PF2|
|OP|
的取值范围．
分析：（1）在△MF1F2中，根据余弦定理得4a2-3MF1•MF2=4c2，则3MF1•MF2=4a2-4c2结合基本不等式即可求得，当且仅当MF1=MF2=a时，a2≤4c2从而求椭圆的离心率e的取值范围．
（2）令OP=m，结合椭圆的定义由余弦定理可得（PF1-PF2）2=4（m2+c2-a2），得到t=
2
m2+c2-a2
m
=2
1-
a2-c2
m2
最后利用放缩法即可求得t的取值范围是．
解答：解：（1）在△MF1F2中，MF12+MF22-2MF1•MF2cos∠F1MF2=4c2
即：（MF1+MF2）2-3MF1•MF2=4c2
即：4a2-3MF1•MF2=4c2，则3MF1•MF2=4a2-4c2MF1•MF2≤(
MF1+MF2
2
)2=a2，当且仅当MF1=MF2=a时，取等号
∴4a2-4c2≤3a2，即a2≤4c2
∴e2≥
1
4
即e∈[
1
2
，1)（5分）
（2）令OP=m，则m∈[b，a]（10分）
又PF1+PF2=2a
在三角形O与三角形O中分别用余弦定理表示出PF12与PF22两式相加可得：PF12+PF22=2m2+2c2
则（PF1-PF2）2=4（m2+c2-a2）
∴t=
2
m2+c2-a2
m
=2
1-
a2-c2
m2

∵m∈[b，a]，∴
a2-c2
a2
≤
a2-c2
m2
≤
a2-c2
b2

即0≤1-
a2-c2
m2
≤
c2
a2
，
∴t的取值范围是0≤t≤
2c
a
．     （16分）
点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
一条斜率为1的直线l与离心率e=
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直线l和椭圆C的方程．
直角坐标系xoy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点P（
3
5
a，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N．
（1）求椭圆离心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
3
2
，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直线AB的方程．
如图所示，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，左焦点为F1（-1，0），右焦点为F2（1，0），短轴两个端点为A、B．与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．
（3）当弦MN的中点P落在△MF1F2内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为F1，F2，若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

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