题目内容
（2007•闵行区一模）（文）已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（a，4）、B（0，b）、C（c，0）．
（1）若a=1，b=2，且
•
=0；求c的值；
（2）若虚数x=a+i是实系数方程x2-6x+2c=0的根，且b=0，求sinA的值．
（1）若a=1，b=2，且
| AB |
| AC |
（2）若虚数x=a+i是实系数方程x2-6x+2c=0的根，且b=0，求sinA的值．
分析：（1）根据所给的三个点的坐标，写出两个向量的坐标，表示出两个向量的数量积，得到关于c的方程，解方程即可．
（2）x=a-i也是实系数方程x2-6x+2c=0的根，由韦达定理，得a=3，c=5，写出向量的坐标，求出两个向量的夹角余弦，根据同角的三角函数关系求出结果．
（2）x=a-i也是实系数方程x2-6x+2c=0的根，由韦达定理，得a=3，c=5，写出向量的坐标，求出两个向量的夹角余弦，根据同角的三角函数关系求出结果．
解答：解：（1）
=(-1， -2)，
=(c-1， -4)（2分）
由
•
=1-c+8=0，（4分）
解得 c=9（6分）
（2）x=a-i也是实系数方程x2-6x+2c=0的根，
由韦达定理，得a=3，c=5，（8分）
=(-3， -4)，
=(2， -4)（10分）
cosA=
=
=
（12分）
∴sinA=
=
=
（14分）
| AB |
| AC |
由
| AB |
| AC |
解得 c=9（6分）
（2）x=a-i也是实系数方程x2-6x+2c=0的根，
由韦达定理，得a=3，c=5，（8分）
| AB |
| AC |
cosA=
| ||||
|
|
| -6+16 | ||
5•2
|
| 1 | ||
|
∴sinA=
| 1-cos2A |
1-
|
2
| ||
| 5 |
点评：本题看出向量的数量积的运算和实系数一元二次方程的解的情况，本题解题的关键是对于实系数的一元二次方程求解时注意两个复根之间的关系是互为共轭复数．
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