题目内容

（理）已知函数g（x）=1-cos（ $数学公式$ x+2ψ）（0＜ψ＜ $数学公式$ ）的图象过点（1，2），若有4个不同的正数x_i 满足g（x_i）=M，且x_i＜8（i=1，2，3，4），则x₁+x₂+x₃+x₄等于

A.
12
B.
20
C.
12或20
D.
无法确定

C
分析：先由g（x）过点（1，2），求得φ，进而求得函数g（x），再由g（x）=M 在两个周期之内有四个解，则在在一个周期内必有两个解，表示出四个解来相加可得．
解答：因为：函数g（x）=1-cos（ $\text{[math]}$ x+2ψ）（0＜ψ＜ $\text{[math]}$ ）的图象过点（1，2），
∴1-cos（ $\text{[math]}$ +2φ）=2，
∴sin2φ=1，
∴φ= $\text{[math]}$
∴g（x）=1-cos（ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ）=1-sin $\text{[math]}$ x．
∵g（x）=M 在两个周期之内竟然有四个解，
∴sin $\text{[math]}$ x=1-M在一个周期内有两个解

当1-M＞0时，四个根中其中两个关于x=11对称，另两个关于x=5对称，故其和为2×1+5×2=12．
当1-M＜0时，四个根中其中两个关于x=3对称，另两个关于x=7对称，故其和为2×3+7×2=20．
综上得：x₁+x₂+x₃+x₄=12或20．
故选C．
点评：本题主要考查三角函数的周期性及三角方程有多解的特性，但都有相应的规律，与周期有关．