Question

（本题满分12分）已知函数

(Ⅰ)当时，求在区间上的最大值和最小值；

(Ⅱ)如果函数在公共定义域D上，满足，

那么就称为的“伴随函数”.已知函数

，.若在区间上，

函数是的“伴随函数”，求的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ)当时，； ----------1分

对于，有，∴在区间上为增函数，

∴.     -----------------3分

(Ⅱ)在区间上，函数是的“伴随函数”，则，令对恒成立， ------4分

且对恒成立，  ------5分

∵（*）       --------------6分

①若，令，得极值点，当，即时，在上有，                                    --------------7分

此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；，也不合题意；                           -----------------8分

②若，则有，此时在区间上恒有，

从而在区间上是减函数；                   

要使在此区间上恒成立，只需满足，所以.                                           -----------------9分

又因为在上是减函数.

，所以.

综合可知的取值范围是.                        -----------------10分

另解：（接在（*）号后）

先考虑，

，--------------8分

在上递减，只要，即，解得.-----------7分

而对，且有. --------8分

只要，即，解得，所以，--------9分

即的取值范围是.                              -----------------10分

【解析】略