Question

已知等差数列{a_n}的公差不为零，{a_n}中的部分项ak1，ak2，ak3，…，akn，…构成等比数列，其中k₁=1，k₂=5，k₃=17，则k₁+k₂+k₃+…+k_n等于（　　）

A、3ⁿ-n-1

B、3ⁿ+n-1

C、3ⁿ-n+1

D、都不对

Answer 1

分析：由题意可得a₁，a₅，a₁₇成等比数列，即（a₁+4d）²=a₁（a₁+16d），解之可得a₁=2d，进而可得公比q，分别再等差数列和等比数列中表示a_kn，进而可得其通项公式，由等比数列的求和公式可得．

解答：解：设{a_n}的首项为a₁，∵a_k1，a_k2，a_k3成等比数列，
k₁=1，k₂=5，k₃=17，∴a₁，a₅，a₁₇成等比数列，
∴（a₁+4d）²=a₁（a₁+16d），解之可得a₁=2d，
∴公比q=

ak2

ak1

=

a5

a1

=

a1+4d

a1

=

2d+4d

2d

=3．
∵a_kn=a₁+（k_n-1）d，又a_kn=a₁•3^n-1，
∴k_n=2•3^n-1-1．
∴k₁+k₂+…+k_n=2（1+3+…+3^n-1）-n
=2×

1-3n

1-3

-n=3ⁿ-n-1．
故选A

点评：本题考查等差数列和等比数列，涉及等比数列的性质和求和公式，属中档题．