Question

若实数x、y满足4^x+4^y=2^x+1+2^y+1，则S=2^x+2^y的取值范围是______．

Answer 1

∵4^x+4^y=（2^x+2^y）²-2••2^x2^y=s²-2•2^x2^y，2^x+1+2^y+1=2（2^x+2^y）=2s，
故原式变形为s²-2•2^x2^y=2s，即2•2^x2^y=s²-2s，
∵0＜2•2^x2^y≤2•（

2x+2y

2

）²，即0＜s²-2s≤

s2

2

，当且仅当2^x=2^y，即x=y时取等号；
解得2＜s≤4，
故答案为（2，4]．