Question

若实数x、y满足4^x+4^y=2^x+1+2^y+1，则S=2^x+2^y的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于s的不等关系式，进而可求出s的取值范围．

解答：解：∵4^x+4^y=（2^x+2^y）²-2••2^x2^y=s²-2•2^x2^y，2^x+1+2^y+1=2（2^x+2^y）=2s，
故原式变形为s²-2•2^x2^y=2s，即2•2^x2^y=s²-2s，
∵0＜2•2^x2^y≤2•（

2x+2y

2

）²，即0＜s²-2s≤

s2

2

，当且仅当2^x=2^y，即x=y时取等号；
解得2＜s≤4，
故答案为（2，4]．

点评：利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握．