Question

【题目】已知 ：
（1）证明f（x）是R上的增函数；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若存在，请求出a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：对任意x∈R都有3x+1≠0，∴f（x）的定义域是R，

设x1，x2∈R且x1＜x2，则

∵y=3x在R上是增函数，且x1＜x2

∴3x1＜3x2且（3x1+1）（3x2+1）＞0f（x1）﹣f（x2）＜0f（x1）＜f（x2）

∴f（x）是R上的增函数

（2）解：若存在实数a使函数f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0a=1

下面证明a=1时 是奇函数

∵

∴f（x）为R上的奇函数

∴存在实数a=1，使函数f（x）为R上的奇函数

【解析】（1）先求函数的定义域，然后设x1 ， x2∈R且x1＜x2 ， 通过化简变形判定f（x1）﹣f（x2）的符号，最后根据单调性的定义进行求解；（2）若存在实数a使函数f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0求出a的值，然后利用奇函数的定义证明即可．