题目内容

设函数为实数,且

   (Ⅰ)若,曲线通过点,且在点处的切线垂直于轴,求的表达式;

   (Ⅱ)在(Ⅰ)在条件下,当时,是单调函数,求实数的取值范围;

   (Ⅲ)设,且为偶函数,证明

(1)(2)


解析:

(Ⅰ) 因为,所以.

又曲线在点处的切线垂直于轴,故

,因此.                              ①

因为,所以.                          ②

     又因为曲线通过点,

所以.                                         ③

解由①,②,③组成的方程组,得.

从而.……………………………………………3分

所以……………………………………………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

所以.

上是单调函数知:

.…………………………………………………………9分

(Ⅲ)因为是偶函数,可知.

    因此.  …………………………………………………10分

    又因为

    可知异号.

   若,则.

   则

                 

                  .……………………………………12分

   若,则.

   同理可得.

综上可知…………………………………………………14分

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