Question

已知：向量

a

=(

x

2

，

y

5

)，

b

=(

x

2

，-

y

5

)，曲线

a

•

b

=1上一点P到点F（3，0）的距离为6，M为PF的中点，O为坐标原点，则|OM|=（　　）

A．1

B．2

C．5

D．1或5

Answer 1

分析：由数量积的运算易得方程为双曲线，由双曲线的定义结合三角形的中位线的性质，易得答案．

解答：解：∵向量

a

=(

x

2

，

y

5

)，

b

=(

x

2

，-

y

5

)，
∴

a

•

b

=

x

2

•

x

2

+

y

5

•(-

y

5

)=

x2

4

-

y2

5

=1，
对应的图形是双曲线，其中a²=4，b²=5，故a=2，b=

5

，c=

a2+b2

=3，
可得点F（3，0）恰好是双曲线的右焦点，
设双曲线的左焦点为F'（-3，0），连接PF'、OM
由双曲线的定义可得|PF-PF'|=|6-PF'|=2a=4，
解得PF'=2或10，
∵OM是△PFF'的中位线，∴|OM|=

1

2

PF'=1或5，
故选D

点评：本题考查平面向量的数量积的运算，涉及双曲线的定义，属基础题．