Question

（2013•石家庄二模）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以原点0为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=2acos（θ+

π

4

）（a＞0）．
（Ⅰ）当a=2

2

时，设OA为圆C的直径，求点A的直角坐标；
（Ⅱ）直线l的参数方程是

x=2t y=4t

（t为参数），直线l被圆C截得的弦长为d，若d≥

2

，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a值代入圆的极坐标方程，化极坐标方程为直角坐标方程，求出圆的圆心坐标，求出OA所在直线方程，与圆的方程联立后可求A的坐标；
（Ⅱ）化圆的极坐标方程为直角坐标方程，求出圆心坐标，化直线的参数方程为直角坐标方程，由圆心到直线的距离求出圆心距，从而得到直线l被圆C截得的弦长d，由d≥

2

，求a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）a=2

2

时，由ρ=2acos（θ+

π

4

），
得ρ2=4

2

ρ(cosθcos

π

4

-sinθsin

π

4

)，即x²+y²=4x-4y．
所以圆C的直角坐标方程为（x-2）²+（y+2）²=8  ①
∴圆心C（2，-2）．
又点O的直角坐标为（0，0），
所以直线OA的直线方程为y=-x②
联立①②解得

x=0 y=0

（舍），或

x=4 y=-4

所以点A的直角坐标为（4，-4）；
（Ⅱ）由ρ=2acos（θ+

π

4

），得
圆C的直角坐标方程为(x-

2

2

a)2+(y+

2

2

a)2=a2，
由

x=2t y=4t

，得直线l的直角坐标方程为y=2x．
所以圆心C（

2

2

a，-

2

2

a）到直线l的距离为

|- 2 2 a- 2 a|

5

，
∴d=2

a2- 9a2 10

=

10

5

a．
所以

10

5

a≥

2

，解得a≥

5

．

点评：本题考查了参数方程和直角坐标方程的互化，考查了极坐标化直角坐标，考查了直线和圆的位置关系，是基础的计算题．