Question

已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=-x²+2x，设f（x）在[2n-2，2n）上的最大值为a_n（n∈N⁺）且{a_n}的前n项和为S_n，则

lim

n→∞

Sn=（　　）

• A、3
• B、

  5

  2

• C、2
• D、

  3

  2

Answer 1

分析：由题意可知，函数f（x）按照2单位向右平移，只是改变函数的最大值，求出a₁，公比，推出a_n，然后求出S_n，即可求出极限．

解答：解：因为f（x）=3f（x+2），所以f（x+2）=

1

3

f（x），就是函数向右平移2个单位，最大值变为原来的

1

3

，a₁=f（1）=1，q=

1

3

，
所以a_n=(

1

3

)n-1，S_n=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

，

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

1-( 1 3 )n

1- 1 3

=

3

2

故选D

点评：本题是中档题，考查函数与数列以及数列的极限的交汇题目，注意函数的图象的平移，改变的是函数的最大值，就是数列的公比，考查计算能力，发现问题解决问题的能力．