题目内容

【题目】已知椭圆)的左右焦点分别为关于直线的对称点在直线上.

(1)求椭圆的离心率;

(2)若的长轴长为且斜率为的直线交椭圆于两点,问是否存在定点,使得的斜率之和为定值?若存在,求出所有满足条件的点坐标;若不存在,说明理由.

【答案】(1);(2)满足条件的定点是存在的,坐标为

【解析】试题分析:(1)依题知,根据对称求出点M,根据点在直线上,可得离心率;(2)由(1)可得椭圆方程为,设设直线方程为,联立方程,根据根与系数的关系可得,设,可得 ,化简整理即可.

试题解析:

(1)依题知,设,则,解得,即

在直线上,∴,∴

(2)由(1)及题设得:,∴,∴椭圆方程为

设直线方程为,代入椭圆方程消去整理得.依题,即

,则

如果存在使得为定值,那么的取值将与无关

,令

为关于的恒等式

,解得

综上可知,满足条件的定点是存在的,坐标为

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