Question

设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足

x

x-2

≥2．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若?p是?q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，p真：1＜x＜3，q真：2＜x≤4，由p∧q为真，能求出x的取值范围．
（2）若?p是?q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，由a＞0，知p：a＜x＜3a，q：2＜x≤4，由此能求出a的取值范围．

解答：解：（1）当a=1时，p真：1＜x＜3，q真：2＜x≤4…（3分）
若p∧q为真，则x的取值范围是（2，3）…（6分）
（2）若?p是?q的充分不必要条件，
则q是p的充分不必要条件…（1分）
∵a＞0，p：a＜x＜3a，q：2＜x≤4…（2分）
∴由

a≥2 3a＞4

得

4

3

＜a≤2，
即a的取值范围是(

4

3

，2]…（6分）

点评：本题考查复合命题的应用和必要条件、充分条件、充要条件的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．