Question

设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率且过椭圆右焦点的直线与椭圆C交于两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在直线，使得.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦， MNAB，求证：为定值

 

Answer 1

【答案】

解：椭圆的顶点为，即

，解得，   椭圆的标准方程为 …… 3分

（2）由题可知,直线与椭圆必相交.

①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．

②设存在直线为，且，.

由得，                     

，，

   =  

所以，故直线的方程为或 …………8分

（3）设,

由（2）可得：  |MN|=

=.

由消去y，并整理得： ，

|AB|=，∴  为定值

【解析】略