Question

设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，且离心率且过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据抛物线的焦点确定椭圆的顶点，结合离心率，即可求出椭圆的标准方程．
（2）由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交．分两张情况讨论：①当直线斜率不存在时，经检验不合题意；②设存在直线l为y=k（x-1）（k≠0），与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合向量条件，即可求得直线l的方程；
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），求出|MN|与|AB|的长，从而可证结论．
解答：（1）解：抛物线的焦点为
∵椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合
∴椭圆的一个顶点为，即
∵，∴a=2，
∴椭圆的标准方程为（3分）
（2）解：由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交．
①当直线斜率不存在时，M（1，），N（1，-），∴，不合题意．
②设存在直线l为y=k（x-1）（k≠0），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
，，

=
所以，
故直线l的方程为或（8分）
（3）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
由（2）可得：|MN|=
=．
由消去y，并整理得：，
|AB|=，
∴为定值  （13分）
点评：本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查向量知识的而运用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．