题目内容
已知不等式x2≤5x-4解集A,关于x的不等式x2-(a+2)x+2a≤0(a∈R)解集为M.
(1)求集合A;
(2)若 M⊆A,求实数a的范围.
(1)求集合A;
(2)若 M⊆A,求实数a的范围.
分析:(1)先化不等式为标准形式,求得对应方程的根,借助二次函数的图象可得解集;
(2)按两根a,2的大小分情况讨论解得M,由M⊆A,得a所满足的不等式;
(2)按两根a,2的大小分情况讨论解得M,由M⊆A,得a所满足的不等式;
解答:解:(1)不等式x2≤5x-4可化为x2-5x+4≤0,解得1≤x≤4,
∴A={x|1≤x≤4};
(2)原不等式等价于(x-a)(x-2)≤0,
若a<2,则M=[a,2],要M⊆A,只需1≤a<2;
若a>2,则M=[2,a],要M⊆A,只需2<a≤4;
若a=2,则M={2},符合M⊆A.
综上所述,a的取值范围为[1,4].
∴A={x|1≤x≤4};
(2)原不等式等价于(x-a)(x-2)≤0,
若a<2,则M=[a,2],要M⊆A,只需1≤a<2;
若a>2,则M=[2,a],要M⊆A,只需2<a≤4;
若a=2,则M={2},符合M⊆A.
综上所述,a的取值范围为[1,4].
点评:本题考查一元二次不等式的解法、集合关系中的参数取值问题,考查分类讨论思想,属基础题.
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