Question

【题目】三棱锥P﹣ABC中.AB⊥BC，△PAC为等边三角形，二面角P﹣AC﹣B的余弦值为，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8π.则三棱锥体积的最大值为( )

A.1B.2C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

由已知作出图象，找出二面角的平面角，设出AB，BC，AC的长，即可求出三棱锥的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值（用含有AC长度的字母表示），再设出球心O，由球的表面积求得半径，根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关系求得AC的长度，则三棱锥体积的最大值可求.

如图所示，过点P作PE⊥面ABC，垂足为E，过点E作ED⊥AC交AC于点D，连接PD，

则∠PDE为二面角P﹣AC﹣B的平面角的补角，即有cos∠PDE，

易知AC⊥面PDE，则AC⊥PD，而△PAC为等边三角形，

∴D为AC中点，

设AB=a，BC=b，ACc，

则PE=PDsin∠PDEc，

故三棱锥P﹣ABC的体积为：Vab，

当且仅当a=b时，体积最大，此时B、D、E共线.

设三棱锥P﹣ABC的外接球的球心为O，半径为R，

由已知，4πR2=8π，得R.

过点O作OF⊥PE于F，则四边形ODEF为矩形，

则OD＝EF，ED=OF=PDcos∠PDE，PE，

在Rt△PFO中，（）2，解得c＝2.

∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为：.

故选：D.