题目内容
【题目】三棱锥P﹣ABC中.AB⊥BC,△PAC为等边三角形,二面角P﹣AC﹣B的余弦值为,当三棱锥的体积最大时,其外接球的表面积为8π.则三棱锥体积的最大值为( )
A.1B.2C.D.
【答案】D
【解析】
由已知作出图象,找出二面角的平面角,设出AB,BC,AC的长,即可求出三棱锥
的高,然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值(用含有AC长度的字母表示),再设出球心O,由球的表面积求得半径,根据球的几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关系求得AC的长度,则三棱锥体积的最大值可求.
如图所示,过点P作PE⊥面ABC,垂足为E,过点E作ED⊥AC交AC于点D,连接PD,
则∠PDE为二面角P﹣AC﹣B的平面角的补角,即有cos∠PDE,
易知AC⊥面PDE,则AC⊥PD,而△PAC为等边三角形,
∴D为AC中点,
设AB=a,BC=b,ACc,
则PE=PDsin∠PDEc
,
故三棱锥P﹣ABC的体积为:Vab
,
当且仅当a=b时,体积最大,此时B、D、E共线.
设三棱锥P﹣ABC的外接球的球心为O,半径为R,
由已知,4πR2=8π,得R.
过点O作OF⊥PE于F,则四边形ODEF为矩形,
则OD=EF,ED=OF=PDcos∠PDE
,PE
,
在Rt△PFO中,()2
,解得c=2.
∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为:.
故选:D.

【题目】万众瞩目的第14届全国冬季运动运会(简称“十四冬”)于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕,期间正值我市学校放寒假,寒假结束后,某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查,得到如图频数分布直方图:
(1)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”,否则定义为“非冰雪迷”,请根据频率分布直方图补全列联表;并判断能否有
的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关;
(2)在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名,再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为,求的
分布列与数学期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,