题目内容

【题目】三棱锥PABC.ABBC,△PAC为等边三角形,二面角PACB的余弦值为,当三棱锥的体积最大时,其外接球的表面积为8π.则三棱锥体积的最大值为( )

A.1B.2C.D.

【答案】D

【解析】

由已知作出图象,找出二面角的平面角,设出ABBCAC的长,即可求出三棱锥的高,然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值(用含有AC长度的字母表示),再设出球心O,由球的表面积求得半径,根据球的几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关系求得AC的长度,则三棱锥体积的最大值可求.

如图所示,过点PPE⊥面ABC,垂足为E,过点EEDACAC于点D,连接PD

则∠PDE为二面角PACB的平面角的补角,即有cosPDE

易知AC⊥面PDE,则ACPD,而△PAC为等边三角形,

DAC中点,

AB=aBC=bACc

PE=PDsinPDEc

故三棱锥PABC的体积为:Vab

当且仅当a=b时,体积最大,此时BDE共线.

设三棱锥PABC的外接球的球心为O,半径为R

由已知,R2=,得R.

过点OOFPEF,则四边形ODEF为矩形,

ODEFED=OF=PDcosPDEPE

RtPFO中,(2,解得c2.

∴三棱锥PABC的体积的最大值为:.

故选:D.

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