题目内容

(本题共3小题,满分18分。第1小题满分4分,第2小题满分7分,第3小题7分)

 

对定义在上,并且同时满足以下两个条件的函数称为函数.

① 对任意的,总有

② 当时,总有成立.

已知函数是定义在上的函数.

(1)试问函数是否为函数?并说明理由;

(2)若函数函数,求实数的值;

(3)在(2)的条件下,是否存在实数,使方程恰有两解?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.

 

【答案】

解:(1)当时,总有满足①……………………………1分

时,

满足②………3分

所以函数函数;………………………………………………………4分

(2)因为函数函数,根据①有,……………6分

根据②有

…………………………………………………7分

因为

所以,其中不能同时取到

于是,……………………9分

所以,即,……………10分

于是…………………………………………………………………………11分

另解:因为函数函数,根据①有,…………6分

根据②有

………………………………8分

…………………………………………………………10分

于是…………………………………………………………………………11分

(3)【理科】根据(2)知,原方程可以化为,……………12分

,……………………………………………………14分

,则,………………………………………15分

由图形可知:当时,方程有一解;…………………………………16分

时,方程无解;…………………………17分

因此,方程不存在两解。………………………………………………………18分

【文科】根据(2)知,原方程可以化为,…………………12分

,……………………………………………………14分

,…………………………………………………………………15分

,……………………………………………16分

因此,当时,方程有解。……………………………………………18分

 

【解析】略

 

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