题目内容
(本题共3小题,满分18分。第1小题满分4分,第2小题满分7分,第3小题7分)
对定义在上,并且同时满足以下两个条件的函数称为函数.
① 对任意的,总有;
② 当时,总有成立.
已知函数与是定义在上的函数.
(1)试问函数是否为函数?并说明理由;
(2)若函数是函数,求实数的值;
(3)在(2)的条件下,是否存在实数,使方程恰有两解?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(1)当时,总有满足①……………………………1分
当时,
满足②………3分
所以函数为函数;………………………………………………………4分
(2)因为函数是函数,根据①有,……………6分
根据②有
…………………………………………………7分
因为,
所以,,其中和不能同时取到,
于是,……………………9分
所以,即,……………10分
于是…………………………………………………………………………11分
另解:因为函数是函数,根据①有,…………6分
根据②有
………………………………8分
取得…………………………………………………………10分
于是…………………………………………………………………………11分
(3)【理科】根据(2)知,原方程可以化为,……………12分
由,……………………………………………………14分
令,则,………………………………………15分
由图形可知:当时,方程有一解;…………………………………16分
当时,方程无解;…………………………17分
因此,方程不存在两解。………………………………………………………18分
【文科】根据(2)知,原方程可以化为,…………………12分
由,……………………………………………………14分
令,…………………………………………………………………15分
则,……………………………………………16分
因此,当时,方程有解。……………………………………………18分
【解析】略