Question

（2013•哈尔滨一模）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，△PAD为等边三角形，平面 PAD⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AB=2且，E为AD 的中点．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）求点E到平面PBC的距离．

Answer 1

分析：（1）连结PE、BE、BD．菱形ABCD的角∠DAB=60°，可得△ABD为等边三角形，由“三线合一”证出BE⊥AD；同理证出△PAD中PE⊥AD，结合线面垂直的判定定理，证出AD⊥平面PBE，可得AD⊥PB；
（2）平面PBE内作直线EH⊥PB于H，由线面垂直的判定与性质，证出EH⊥平面PBC，可得EH长就是点E到平面PBC的距离．根据平面 PAD⊥平面ABCD，证出PE⊥平面ABCD，可得PE⊥BE，然后分别在正△ABD、正△APD中算出BE=PE=

3

．最后在等腰Rt△PEB中算出斜边PB上的高EH=

2

2

PE=

6

2

，由此可得点E到平面PBC的距离．

解答：解：（1）连结PE、BE、BD，
∵菱形ABCD中，∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形
∵E为AD 的中点，∴BE⊥AD
∵△PAD为等边三角形，E为AD 的中点，∴PE⊥AD
∵PE、BE是平面PBE内部的相交直线，∴AD⊥平面PBE
∵PB?平面PBE，∴AD⊥PB；
（2）平面PBE内作直线EH⊥PB于H，
∵AD⊥平面PBE，AD∥BC，∴BC⊥平面PBE，
∵EH?平面PBE，∴EH⊥BC
又∵EH⊥PB，BC∩PB=B，∴EH⊥平面PBC
由此可得EH长就是点E到平面PBC的距离
∵等边△ABD的边长为2，∴中线BE=

3

2

AB=

3

同理可得PE=

3

∵平面 PAD⊥平面ABCD，平面 PAD∩平面ABCD=AD，PE⊥AD
∴PE⊥平面ABCD，可得PE⊥BE
∴△PEB是等腰直角三角形，可得斜边PB上的高EH=

2

2

PE=

6

2

因此，点E到平面PBC的距离等于

6

2

．

点评：本题给出侧面为等边三角形，且该侧面与底面菱形垂直的四棱锥，求证线线垂直并求点到平面的距离，着重考查了等边三角形、菱形的性质，线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．