Question

17．已知抛物线y²=2px（p＞0），四边形ABCD内接于抛物线，如图所示．
（Ⅰ）若直线AB，CD，BC，AD的斜率均存在，分别记为k₁，k₂，k₃，k₄，求证：$\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=\frac{1}{k_3}+\frac{1}{k_4}$；
（Ⅱ）若直线AB，AD的斜率互为相反数，且弦AC⊥x轴，求证：直线BD与抛物线在点C处的切线平行．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A，B，C，D的坐标，利用直线斜率公式分别求出k₁，k₂，k₃，k₄，进行计算即可．
（Ⅱ）根据直线AB，AD的斜率互为相反数，求出抛物线在C出的切线斜率，根据直线平行的性质进行判断即可．

解答 解：（Ⅰ） 证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
则k₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴k₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
同理：k₂=$\frac{2p}{{y}_{3}+{y}_{4}}$，
故$\frac{1}{{k}_{1}}+\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}+{y}_{4}}{2p}$，
同理：$\frac{1}{{k}_{3}}+\frac{1}{{k}_{4}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}+{y}_{4}}{2p}$，
故$\frac{1}{{k}_{1}}+\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{1}{{k}_{3}}+\frac{1}{{k}_{4}}$，
从而得证．
（Ⅱ） 证明：由AC⊥x轴，有x₁=x₃，y₁=-y₃，
设以C为切点的切线斜率为k，则其方程为y+y₁=k（x-x₁），
代入 y²=2px，
得${k^2}{x^2}-2（{k^2}{x_1}+k{y_1}+p）x+{（k{x_1}+{y_1}）^2}=0$
∴$△=4{（{k^2}{x_1}+k{y_1}+p）^2}-4{k^2}{（k{x_1}+{y_1}）^2}=0$得，
k²x₁+ky₁+$\frac{p}{2}$=0，
而y₁²=2px₁，
∴k=$-\frac{p}{{y}_{1}}$；                                               
由若直线AB，AD的斜率互为相反数，
则有$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$+$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{4}}$=0，
∴2y₁+y₂+y₄=0，
则k_BD=$\frac{2P}{{y}_{2}+{y}_{4}}=\frac{2p}{-2{y}_{1}}$=$-\frac{p}{{y}_{1}}$；
∴k_BD=k，
而点C不在BD上，
∴直线BD平行于点C处的切线．

点评 本题主要考查直线和抛物线的关系，根据直线斜率公式是解决本题的关键．考查学生的运算能力．综合性较强，难度较大．