Question

已知函数f（x）对于任意x，y∈R总有f（x）+f（y）=f（x+y）且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-1
①判断f（x）奇偶性
②求证：f（x）在R上是减函数．
③求f（x）在[-2，4]上的最大值，最小值．

Answer 1

分析：①赋值x=y=0，可求得f（0）=0，再赋值y=-x即可判断f（x）奇偶性；
②利用单调性的定义，令x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）后化积，判断符号，即可证得f（x）在R上是减函数；
③利用②证得的“f（x）在R上是减函数”，f（1）=-1即可求得f（x）在[-2，4]上的最大值，最小值．

解答：解：①∵对于任意x，y∈R总有f（x）+f（y）=f（x+y），
∴令x=y=0，得f（0）=0，
再令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
②令x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在R上是减函数；
③由①②知，f（x）在是R上递减的奇函数，又f（1）=-1，
∴当x∈[-2，4]时，f（x）_max=f（-2）=-f（2）=-[f（1）+f（1）]=-（-2）=2，
同理可求，当x∈[-2，4]时，f（x）_min=f（4）=2f（2）=-4．

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查函数单调性、奇偶性的判断与证明，考查转化思想与运算能力，属于中档题．