Question

设实数a≥1，使得不等式x|x-a|+

3

2

≥a，对任意的实数x∈[1，2]恒成立，则满足条件的实数a的范围是

[1，

3

2

]∪[

5

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：令f（x）=x|x-a|，则由题意可得 f_min（x）≥a-

3

2

，分1≤a≤2和a＞2两种情况分别求出实数a的范围，再取并集即得所求．

解答：解：∵a≥1，不等式x|x-a|+

3

2

≥a，对任意的实数x∈[1，2]恒成立，等价于x|x-a|≥a-

3

2

．
令f（x）=x|x-a|，则有 f_min（x）≥a-

3

2

．
当1≤a≤2时，f（x）=x|x-a|=

x(x-a)  ， a ≤x≤2 x(a-x) ， ≤x＜a

，∴f_min（x）=f（a）=0，
∴0≥a-

3

2

，解得 a≤

3

2

，故 1≤a≤

3

2

．
当a＞2时，f（x）=x（a-x），此时f_min（x）=f（1）或f（2），
故有

f(1)≥a- 3 2 f(2)≥a- 3 2

，即

a-1≥a- 3 2 2a-4≥a- 3 2

，解得 a≥

5

2

．
综上可得  1≤a≤

3

2

或 a≥

5

2

．
故答案为[1，

3

2

]∪[

5

2

，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．