Question

19．求下列代数式的最值：
（1）已知x＞4，求x-3+$\frac{1}{x-4}$的最小值；
（2）已知x＜1，求x+1+$\frac{1}{x-1}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得x-4＞0，可得x-3+$\frac{1}{x-4}$=x-4+$\frac{1}{x-4}$+1，由基本不等式可得；
（2）由题意可得x-1＜0，可得x+1+$\frac{1}{x-1}$=x-1+$\frac{1}{x-1}$+2，由基本不等式可得．

解答 解：（1）∵x＞4，∴x-4＞0，
∴x-3+$\frac{1}{x-4}$=x-4+$\frac{1}{x-4}$+1≥2$\sqrt{（x-4）\frac{1}{x-4}}$+1=3，
当且仅当x-4=$\frac{1}{x-4}$即x=5时取等号，
∴所求式子的最小值为3；
（2）∵x＜1，∴x-1＜0，
∴x+1+$\frac{1}{x-1}$=x-1+$\frac{1}{x-1}$+2≤-2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+2=0
当且仅当x-1=$\frac{1}{x-1}$即x=0时取等号，
∴所求式子的最大值为0

点评 本题考查基本不等式求最值，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．