题目内容
已知函数f(x)=
(a∈R)
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-y-1=0平行,求a的值
(2)求y=f(x)的单调区间和极值
(3)当a=1,且x≥1时,证明:f(x)≤1.
lnx+a | x |
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-y-1=0平行,求a的值
(2)求y=f(x)的单调区间和极值
(3)当a=1,且x≥1时,证明:f(x)≤1.
分析:(1)欲求a的值,根据在点(1,f(1))处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.再列出一个等式,最后解方程组即可得.
(2)先求出f(x)的导数,根据f′(x)>0求得的区间是单调增区间,f′(x)<0求得的区间是单调减区间,最后求出极值即可.
(3)由(2)知,当a=1时,函数f(x)=
在[1,+∞)上是单调减函数,且f(1)=
=1,从而证得结论.
(2)先求出f(x)的导数,根据f′(x)>0求得的区间是单调增区间,f′(x)<0求得的区间是单调减区间,最后求出极值即可.
(3)由(2)知,当a=1时,函数f(x)=
lnx+1 |
x |
ln1+1 |
1 |
解答:解:(1)函数f(x)的定义域为{x|x>0},
所以f′(x)=
.
又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-y-1=0平行,
所以f'(1)=1-a=1,即a=0.
(2)令f'(x)=0,得x=e1-a.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

由表可知:f(x)的单调递增区间是(0,e1-a),单调递减区间是(e1-a,+∞).
所以f(x)在x=e1-a处取得极大值,f(x)极大值=f(e1-a)=ea-1.
(3)由(2)知,当a=1时,函数f(x)=
在[1,+∞)上是单调减函数,
且f(1)=
=1,
∴x≥1时,f(x)≤f(1)=1.
所以f′(x)=
1-lnx-a |
x 2 |
又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-y-1=0平行,
所以f'(1)=1-a=1,即a=0.
(2)令f'(x)=0,得x=e1-a.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
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由表可知:f(x)的单调递增区间是(0,e1-a),单调递减区间是(e1-a,+∞).
所以f(x)在x=e1-a处取得极大值,f(x)极大值=f(e1-a)=ea-1.
(3)由(2)知,当a=1时,函数f(x)=
lnx+1 |
x |
且f(1)=
ln1+1 |
1 |
∴x≥1时,f(x)≤f(1)=1.
点评:本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、导数的应用等基础知识,考查运算求解能力,考查归与转化思想.属于基础题.
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