题目内容
【题目】已知函数(为常数,).
(1)讨论函数的单调区间;
(2)当时,若函数在(,是自然对数的底数)上有两个零点,求的最小值.
【答案】见解析
【解析】(1)函数的定义域为R,由,得. ...............2分
①当时,对都有,当变化时,,的变化如下表:
0 | |||
+ | 0 | _ | |
增 | 极大值 | 减 |
此时,的递增区间为,递减区间为. ................4分
②当时,.由,得或.当变化时,,的变化如下表:
0 | |||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 |
此时,的递增区间为,,递减区间为.
③当时,.此时,的递增区间为,无减区间. .....6分
④当时,.由,得或.当变化时,,的变化如下表:.
0 | |||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 |
此时,的递增区间为,,递减区间为.
综上所述,当时,的递增区间为,递减区间为;
当时,的递增区间为,,递减区间为;
当时,的递增区间为,无减区间;
当时,的递增区间为,,递减区间为. ……8分
(2)当时,.由(1)可知,在上为增函数,
且的极大值为,所以在上有一个零点.
由,且在上为减函数,则必有. ................9分
要想函数在上还有一个零点,同时考虑到函数在上为增函数,
则只需,且.又因为,
且
,
所以当时,函数在还有一个零点,则的最小值为2. ................12分
综上所述,若在上有两个零点时,的最小值为2. ……13分