题目内容

【题目】已知函数为常数,).

(1)讨论函数的单调区间;

(2)当时,若函数是自然对数的底数)上有两个零点,求的最小值.

【答案】见解析

【解析】(1)函数的定义域为R,由,得. ...............2分

时,对都有,当变化时,的变化如下表:

0

+

0

_

极大值

此时,的递增区间为,递减区间为. ................4分

时,.由,得.当变化时,的变化如下表:

0

+

0

-

0

+

极大值

极小值

此时,的递增区间为,递减区间为.

时,.此时,的递增区间为,无减区间. .....6分

时,.由,得.当变化时,的变化如下表:.

0

+

0

-

0

+

极大值

极小值

此时,的递增区间为,递减区间为.

综上所述,当时,的递增区间为,递减区间为

时,的递增区间为,递减区间为

时,的递增区间为,无减区间;

时,的递增区间为,递减区间为. ……8分

(2)当时,.由(1)可知,上为增函数,

的极大值为,所以上有一个零点.

,且上为减函数,则必有. ................9分

要想函数上还有一个零点,同时考虑到函数上为增函数,

则只需,且.又因为

所以当时,函数还有一个零点,则的最小值为2. ................12分

综上所述,若上有两个零点时,的最小值为2. ……13分

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