Question

（2013•连云港一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上顶点为A，左，右焦点分别为F₁，F₂，且椭圆C过点P（

4

3

，

b

3

），以AP为直径的圆恰好过右焦点F₂．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆过点P（

4

3

，

b

3

），以AP为直径的圆恰好过右焦点F₂，及b²=a²-c²，建立方程，即可求椭圆C的方程；
（2）分类讨论，利用直线l与椭圆C有只有一个公共点，确定k，p的关系，设在x轴上存在两点（s，0），（t，0），使其到直线l的距离之积为1，建立方程，即可求得结论．

解答：解：（1）因为椭圆过点P（

4

3

，

b

3

），所以

16

9a2

+

1

9

=1，解得a²=2，…（2分）
又以AP为直径的圆恰好过右焦点F₂，所以AF₂⊥F₂P，即-

b

c

?

b 3

4 3 -c

=-1，所以b²=c（4-3c）．…（6分）
而b²=a²-c²=2-c²，所以c²-2c+1=0，解得c²=1，
故椭圆C的方程是

x2

2

+y²=1．…（8分）
（2）①当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，
代入椭圆方程得（1+2k²）x²+4kpx+2p²-2=0．
因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，所以△=16k²p²-4（1+2k²）（2p²-2）=8（1+2k²-p²）=0，
即1+2k²=p²．…（10分）
设在x轴上存在两点（s，0），（t，0），使其到直线l的距离之积为1，则

|ks+p|

k2+1

?

|kt+p|

k2+1

=

|k2st+kp(s+t)+p2|

k2+1

=1，
即（st+1）k+p（s+t）=0（*），或（st+3）k²+（s+t）kp+2=0 （**）．
由（*）恒成立，得

st+1=0 s+t=0.

解得

s=1 t=-1

，或

s=-1 t=1

，…（14分）
而（**）不恒成立．
②当直线l斜率不存在时，直线方程为x=±

2

时，
定点（-1，0）、F₂（1，0）到直线l的距离之积d₁?d₂=（

2

-1）（

2

+1）=1．
综上，存在两个定点（1，0），（-1，0），使其到直线l 的距离之积为定值1．…（16分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查存在性问题的研究，考查学生的计算能力，同时考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．