题目内容

已知数列满足:

(1)若,求数列的通项公式;

(2)若,且

① 记,求证:数列为等差数列;

② 若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,求首项应满足的条件.

 

【答案】

(1)

(2)①根据等差数列的定义,证明相邻两项的差为定值来得到证明。从第二项起满足题意即可。

②当,数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次

【解析】

试题分析:解:(1)当时,有

也满足上式,所以数列的通项公式是.    4分

(2)①因为对任意的,有,所以,

所以,数列为等差数列.                    8分

②设(其中为常数且

所以,

即数列均为以7为公差的等差数列.               10分

(其中中一个常数)

时,对任意的,有;             12分

时,

(Ⅰ)若,则对任意的,所以数列为递减数列;

(Ⅱ)若,则对任意的,所以数列为递增数列.

综上所述,集合

时,数列中必有某数重复出现无数次;

时,数列均为单调数列,任意一个数在这6个数列中最多出现一次,所以数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.     18分

考点:数列的性质,数列的概念

点评:主要是考查了等差数列的概念和数列的单调性的运用,属于难度题。

 

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