题目内容
已知数列,
满足:
.
(1)若,求数列
的通项公式;
(2)若,且
.
① 记,求证:数列
为等差数列;
② 若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,求首项
应满足的条件.
【答案】
(1)
(2)①根据等差数列的定义,证明相邻两项的差为定值来得到证明。从第二项起满足题意即可。
②当,数列
任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次
【解析】
试题分析:解:(1)当时,有
.
又也满足上式,所以数列
的通项公式是
. 4分
(2)①因为对任意的,有
,所以,
,
所以,数列为等差数列.
8分
②设(其中
为常数且
,
所以,,
即数列均为以7为公差的等差数列.
10分
设.
(其中为
中一个常数)
当时,对任意的
,有
;
12分
当时,
.
(Ⅰ)若,则对任意的
有
,所以数列
为递减数列;
(Ⅱ)若,则对任意的
有
,所以数列
为递增数列.
综上所述,集合.
当时,数列
中必有某数重复出现无数次;
当时,数列
均为单调数列,任意一个数在这6个数列中最多出现一次,所以数列
任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.
18分
考点:数列的性质,数列的概念
点评:主要是考查了等差数列的概念和数列的单调性的运用,属于难度题。
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