题目内容
已知函数f(x)的定义域为［0,1］,且满足下列条件:①对于任意x∈［0,1］,总有f(x)≥3,且f(1)=4;
②若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)-3.
(1)求f(0)的值;
(2)求证:f(x)≤4;
(3)当x∈(
］(n=1,2,3,…)时,试证明f(x)＜3x+3.
(文)如图,设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,且A、B两点坐标为(x1,y1)、(x2,y2),y1＞0,y2＜0,P是此抛物线的准线上的一点,O是坐标原点.
(1)求证:y1y2=-p2;
(2)直线PA、PF、PB的方向向量为(1,a)、(1,b)、(1,c),求证:实数a、b、c成等差数列;
(3)若
=0,∠APF=α,∠BPF=β,∠PFO=θ,求证:θ=|α-β|.
(1)解:令x1=x2=0,
由①对于任意x∈［0,1］,总有f(x)≥3,
∴f(0)≥3.
又由②得f(0)≥2f(0)-3,
即f(0)≤3;
∴f(0)=3.
(2)证明:任取x1、x2∈［0,1］,且设x1＜x2,
则f(x2)=f［x1+(x2-x1)］≥f(x1)+f(x2-x1)-3,
∵0＜x2-x1≤1,∴f(x2-x1)≥3,
即f(x2-x1)-3≥0.
∴f(x1)≤f(x2).
∴当x∈［0,1］时,f(x)≤f(1)=4.
(3)证明:先用数学归纳法证明
f()≤
+3(n∈N*).
(1)当n=1时,f(
)=f(1)=4=1+3=
+3,不等式成立;
(2)假设当n=k时,f(
)≤
+3(k∈N*),
由f(
)=f［
+(
+
)］
≥f(
)+f(
+
)-3
≥f(
)+f(
)+f(
)-6
得3f(
)≤f(
)+6≤
+9.
∴f(
)≤
+3,
即当n=k+1时,不等式成立.
由(1)(2),可知不等式f(
)≤
+3对一切正整数都成立.
于是,当x∈(
,
］(n=1,2,3,…)时,3x+3＞3×
+3=
+3≥f(
),
而x∈［0,1］,f(x)单调递增,
∴f(
)＜f(
).
∴f(x)＜f(
)＜3x+3.
(文)证明:(1)①当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=
,则A(
,p),B(
,-p),
∴y1y2=-p2.
②当直线AB的斜率存在且不为0时,设直线AB的方程为y=k(x
),
则由
可得ky2-2py-kp2=0(k≠0).∴y1y2=-p2.
(2)由已知a=kPA,b=kPF,c=kPB,
设P(
,t),F(
,0),
∴a=
,b=
,c=
;
且x1=
,x2=
.
故a+c=
=
=
=
=
.
∴a、b、c成等差数列.
(3)证法一:∵
=0,
∴PA⊥PB,故a·c=-1.
由(2)可知a+c=2b,即a-b=b-c.
①若AB⊥x轴,则α=β=45°,θ=0°,
∴θ=α-β.
②若kAB＞0,则
tanα=
.
同理可得tanβ=a,
∴tan(α-β)=
,
即|tan(α-β)|=|b|=tanθ.
易知∠PFO、∠BPF、∠APF都是锐角.
∴θ=|α-β|.
③若kAB＜0,类似地,也可证明θ=|α-β|.
综上所述,θ=|α-β|.
证法二:∵
=0,∴PA⊥PB.
故a·c=-1.
①如图,若AB⊥x轴,则α=β=45°,θ=0°,
∴θ=α-β.
②若kAB＞0,∵A、B在抛物线上,
∴|AF|=|AC|,|BF|=|BD|.
设AB中点为M,则
|PM|=
,
∴PM是梯形ABDC的中位线,
故P是CD中点.
∴P(
),t=
,
F(
,0),
=(p,
),
又
=(x2-x1,y2-y1),
∴
=p(x2-x1)
=p(x2-x1)
=0.
∴
.
∴△PDB≌△PBF.
∴∠BPF=∠DPB=β.
∴θ+2β=90°=α+β.∴θ=α-β.
③若kAB＜0,类似②可证θ=β-α,
∴θ=|α-β|.
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