题目内容
已知非零向量
，
，
满足：
=a
+β
（a，β∈R），给出下列命题：
①若a=
，β=-
，则A、B、C三点共线；
②若a＞0，β＞0，|
|=
，|
|=|
|=1，＜
，
＞=
，＜
，
＞=
则a+β=3；
③已知等差数列{an}中，an＞an+1＞0（n∈N*），a2=a，a2009=β若A、B、C三点共线，但O点 不在直线BC上，则
+
的最小值为9；
④若β≠0，且A、B、C三点共线，则A分
所在的比λ一定为
．
其中你认为正确的所有命题的序号是
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| OB |
| OC |
①若a=
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
②若a＞0，β＞0，|
| OA |
| 3 |
| OB |
| OC |
| OB |
| OC |
| 2π |
| 3 |
| OA |
| OB |
| π |
| 2 |
③已知等差数列{an}中，an＞an+1＞0（n∈N*），a2=a，a2009=β若A、B、C三点共线，但O点 不在直线BC上，则
| 1 |
| a3 |
| 4 |
| a2008 |
④若β≠0，且A、B、C三点共线，则A分
| BC |
| a |
| β |
其中你认为正确的所有命题的序号是
①②③④
①②③④
．分析：根据向量共线的充要条件即当
=a
+β
，a+β=1?A、B、C三点共线，可判断①真假；进而结合等差数列的性质及基本不等式可判断出③的真假，进而根据定点分线段所成比的定义，可判断④的真假，另外根据向量数量积运算公式，构造方程求出α，β值，进而判断出②的真假．
| OA |
| OB |
| OC |
解答：解：根据向量共线的充要条件，可得当
=a
+β
，a+β=1时，A、B、C三点共线，故当a=
，β=-
，A、B、C三点共线，故①正确；
∵|
|=
，|
|=|
|=1，＜
，
＞=
，＜
，
＞=
，∴
•
=-
，
•
=0；
2=（a
+β
）2=a2
2+2aβ
•
+β2
2=a2-aβ+β2=3
•
=（a
+β
）•
=a
2+β
•
=a-
β=0；
又∵a＞0，β＞0，∴a=1，β=2，即a+β=3，故②正确；
A、B、C三点共线，a2+a2009=a+β=1=a3+a2008，则
+
=（
+
）（a3+a2008）≥1+4+2
=9，故③正确；
若A、B、C三点共线，则A分
所在的比λ=
=
=
=
=
，故④正确；
故答案为：①②③④
| OA |
| OB |
| OC |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵|
| OA |
| 3 |
| OB |
| OC |
| OB |
| OC |
| 2π |
| 3 |
| OA |
| OB |
| π |
| 2 |
| OB |
| OC |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| OC |
| OB |
| OB |
| OC |
| OC |
| OA |
| OB |
| OB |
| OC |
| OB |
| OB |
| OC |
| OB |
| 1 |
| 2 |
又∵a＞0，β＞0，∴a=1，β=2，即a+β=3，故②正确；
A、B、C三点共线，a2+a2009=a+β=1=a3+a2008，则
| 1 |
| a3 |
| 4 |
| a2008 |
| 1 |
| a3 |
| 4 |
| a2008 |
|
若A、B、C三点共线，则A分
| BC |
| ||
|
| ||||
|
(α-1)
| ||||||
-α
|
-β
| ||||||
-α
|
| a |
| β |
故答案为：①②③④
点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，其中熟练掌握向量共线的充要条件即当
=a
+β
，a+β=1?A、B、C三点共线，是解答的关键．
| OA |
| OB |
| OC |
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