Question

已知非零向量

OA

，

OB

，

OC

满足：

OA

=a

OB

+β

OC

（a，β∈R），给出下列命题：
①若a=

3

2

，β=-

1

2

，则A、B、C三点共线；
②若a＞0，β＞0，|

OA

|=

3

，|

OB

|=|

OC

|=1，＜

OB

，

OC

＞=

2π

3

，＜

OA

，

OB

＞=

π

2

则a+β=3；
③已知等差数列{a_n}中，a_n＞a_n+1＞0（n∈N^*），a₂=a，a₂₀₀₉=β若A、B、C三点共线，但O点 不在直线BC上，则

1

a3

+

4

a2008

的最小值为9；
④若β≠0，且A、B、C三点共线，则A分

BC

所在的比λ一定为

a

β

．
其中你认为正确的所有命题的序号是

①②③④

．

Answer 1

分析：根据向量共线的充要条件即当

OA

=a

OB

+β

OC

，a+β=1?A、B、C三点共线，可判断①真假；进而结合等差数列的性质及基本不等式可判断出③的真假，进而根据定点分线段所成比的定义，可判断④的真假，另外根据向量数量积运算公式，构造方程求出α，β值，进而判断出②的真假．

解答：解：根据向量共线的充要条件，可得当

OA

=a

OB

+β

OC

，a+β=1时，A、B、C三点共线，故当a=

3

2

，β=-

1

2

，A、B、C三点共线，故①正确；
∵|

OA

|=

3

，|

OB

|=|

OC

|=1，＜

OB

，

OC

＞=

2π

3

，＜

OA

，

OB

＞=

π

2

，∴

OB

•

OC

=-

1

2

，

OA

•

OB

=0；

OA

²=（a

OB

+β

OC

）²=a²

OB

²+2aβ

OB

•

OC

+β2

OC

2=a²-aβ+β²=3

OA

•

OB

=（a

OB

+β

OC

）•

OB

=a

OB

²+β

OC

•

OB

=a-

1

2

β=0；
又∵a＞0，β＞0，∴a=1，β=2，即a+β=3，故②正确；
A、B、C三点共线，a₂+a₂₀₀₉=a+β=1=a₃+a₂₀₀₈，则

1

a3

+

4

a2008

=（

1

a3

+

4

a2008

）（a₃+a₂₀₀₈）≥1+4+2

a2008 a3 • 4a3 a2008

=9，故③正确；
若A、B、C三点共线，则A分

BC

所在的比λ=

BA

AC

=

OA - OB

OC - OA

=

(α-1) OB +β OC

-α OB +(1-β) OC

=

-β OB +β OC

-α OB +α OC

=

a

β

，故④正确；
故答案为：①②③④

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，其中熟练掌握向量共线的充要条件即当

OA

=a

OB

+β

OC

，a+β=1?A、B、C三点共线，是解答的关键．