题目内容
设的所有排列的集合为;,记
,;求.(其中表示集合的元素个数).
,;求.(其中表示集合的元素个数).
:我们一般地证明,若,对于前个正整数的所有排列构成的集合,若,,则.
下面用数学归纳法证明:.
当时,由排序不等式知,集合中的最小元素是,最大元素是
.又,,
,
,所以,=共有11=个元素.因此,时命题成立.假设命题在()时成立;考虑命题在时的情况.对于的任一排列,恒取,得到的一个排列,
则.由归纳假设知,此时取遍区间
上所有整数.
再令,则,
再由归纳假设知,取遍区间
上的所有整数.
因为,所以,取遍区间
上的所有整数.即命题对也成立.由数学归纳法知,命题成立.
由于 ,从而,集合
的元素个数为.特别是,当时,.
下面用数学归纳法证明:.
当时,由排序不等式知,集合中的最小元素是,最大元素是
.又,,
,
,所以,=共有11=个元素.因此,时命题成立.假设命题在()时成立;考虑命题在时的情况.对于的任一排列,恒取,得到的一个排列,
则.由归纳假设知,此时取遍区间
上所有整数.
再令,则,
再由归纳假设知,取遍区间
上的所有整数.
因为,所以,取遍区间
上的所有整数.即命题对也成立.由数学归纳法知,命题成立.
由于 ,从而,集合
的元素个数为.特别是,当时,.
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