题目内容
设
的所有排列
的集合为
;
,记

,
;求
.(其中
表示集合
的元素个数).












:我们一般地证明,若
,对于前
个正整数
的所有排列
构成的集合
,若
,
,则
.

下面用数学归纳法证明:
.
当
时,由排序不等式知,集合
中的最小元素是
,最大元素是
.又,
,
,
,所以,
=
共有11=
个元素.因此,
时命题成立.假设命题在
(
)时成立;考虑命题在
时的情况.对于
的任一排列
,恒取
,得到
的一个排列
,
则
.由归纳假设知,此时
取遍区间
上所有整数.
再令
,则
,
再由归纳假设知,
取遍区间
上的所有整数.
因为
,所以,
取遍区间
上的所有整数.即命题对
也成立.由数学归纳法知,命题成立.
由于
,从而,集合
的元素个数为
.特别是,当
时,
.









下面用数学归纳法证明:


当



















则




再令



再由归纳假设知,



因为



上的所有整数.即命题对

由于


的元素个数为




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