题目内容
已知双曲线C：
-
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别F1、F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上异于顶点的任一点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，且⊙I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的离心率，下面八个命题：
①△PF1F2的内切圆的圆心在直线x=b上；
②△PF1F2的内切圆的圆心在直线x=a上；
③△PF1F2的内切圆的圆心在直线OP上；
④△PF1F2的内切圆必通过点（a，0）；
⑤|OB|=e|OA|；
⑥|OB|=|OA|；
⑦|OA|=e|OB|；
⑧|OA|与|OB|关系不确定．
其中正确的命题的代号是______．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
①△PF1F2的内切圆的圆心在直线x=b上；
②△PF1F2的内切圆的圆心在直线x=a上；
③△PF1F2的内切圆的圆心在直线OP上；
④△PF1F2的内切圆必通过点（a，0）；
⑤|OB|=e|OA|；
⑥|OB|=|OA|；
⑦|OA|=e|OB|；
⑧|OA|与|OB|关系不确定．
其中正确的命题的代号是______．
根据题意得F1（-c，0）、F2（c，0），
设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A1、B1，与F1F2切于点A，
则|PA1|=|PB1|，|F1A1|=|F1A|，|F2B1|=|F2A|，
又点P在双曲线右支上，
所以|PF1|-|PF2|=2a，故|F1A|-|F2A|=2a，而|F1A|+|F2A|=2c，
设A点坐标为（x，0），
则由|F1A|-|F2A|=2a可得（x+c）-（c-x）=2a
解得x=a，则△PF1F2的内切圆必通过点（a，0），△PF1F2的内切圆的圆心在直线x=a上，
故②，④正确．
由于|OA|=a，在三角形PCF2中，由题意得，三角形PCF2是一个等腰三角形，PC=PF2，
∴在三角形F1CF2中，有：
OB=
CF1=
（PF1-PC）=
（PF1-PF2）=
×2a=a．
∴|OB|=|OA|．⑥正确．
故答案为：②，④，⑥．
设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A1、B1，与F1F2切于点A，
则|PA1|=|PB1|，|F1A1|=|F1A|，|F2B1|=|F2A|，
又点P在双曲线右支上，
所以|PF1|-|PF2|=2a，故|F1A|-|F2A|=2a，而|F1A|+|F2A|=2c，
设A点坐标为（x，0），
则由|F1A|-|F2A|=2a可得（x+c）-（c-x）=2a
解得x=a，则△PF1F2的内切圆必通过点（a，0），△PF1F2的内切圆的圆心在直线x=a上，
故②，④正确．
由于|OA|=a，在三角形PCF2中，由题意得，三角形PCF2是一个等腰三角形，PC=PF2，
∴在三角形F1CF2中，有：
OB=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴|OB|=|OA|．⑥正确．
故答案为：②，④，⑥．
练习册系列答案
黄冈小状元解决问题天天练系列答案
三点一测快乐周计划系列答案
相关题目
