Question

某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率，如图．（ 例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）．
（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；
（2）若记ξ路线A→（3）C→（4）F→（5）B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望Eξ．

Answer 1

【答案】分析：（1）记路段MN发生堵车事件为MN，根据各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P₁=1-P（••），同理得路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P₂=
1-P（••），路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P₃=1-P（••），然后比较即可；
（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3，然后利用互斥事件与对立事件的公式分别求出相应的概率，最后利用数学期望公式解之即可．
解答：解：（1）记路段MN发生堵车事件为MN．
因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P₁为1-P（••）=1-P（）•P（）•P （）
=1-[1-P（AC）][1-P（CD）][1-P（DB）]=1-=；
同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P₂为
1-P（••）=（小于）；
路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P₃为
1-P（••）=（大于）
显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择．
因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．
（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=P（••）=，
P（ξ=1）=P（AC••）+P（•CF•）+P（••FB）
=××+××+××=，
P（ξ=2）=P（AC•CF•）+P（AC••FB）+P（•CF•FB）
=××+××+××=，
P（ξ=3）=P（••）=××=．
∴Eξ=0×+1×+2×+3×=．
答：路线A→C→FB中遇到堵车次数的数学期望为．
点评：本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及对立事件和离散型随机变量的期望，同时考查了计算能力，属于中档题．