Question

已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x-2y=0的距离为

5

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．求该圆的方程．

Answer 1

分析：设出圆P的圆心坐标，由圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，得到圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，根据垂径定理得到圆截x轴的弦长，找出r与b的关系式，又根据圆与y轴的弦长为2，利用垂径定理得到r与a的关系式，两个关系式联立得到a与b的关系式；然后利用点到直线的距离公式求出P到直线x-2y=0的距离，让其等于

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，得到a与b的关系式，将两个a与b的关系式联立即可求出a与b的值，得到圆心P的坐标，然后利用a与b的值求出圆的半径r，根据圆心和半径写出圆的方程即可．

解答：解：设圆P的圆心为P（a，b），半径为r，
则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，
知圆P截x轴所得的弦长为

2

r．故r²=2b²
又圆P被y轴所截得的弦长为2，所以有r²=a²+1．从而得2b²-a²=1；
又因为P（a，b）到直线x-2y=0的距离为

5

5

，所以d=

|a-2b|

5

=

5

5

，即有a-2b=±1，
由此有

2b2-a2=1 a-2b=1

或

2b2-a2=1 a-2b=-1

解方程组得

a=-1 b=-1

或

a=1 b=1

，于是r²=2b²=2，
所求圆的方程是：（x+1）²+（y+1）²=2，或（x-1）²+（y-1）²=2．

点评：本小题主要考查轨迹的思想，考查综合运用知识建立曲线方程的能力，是一道中档题．