题目内容

已知,且直线与曲线相切.

(1)若对内的一切实数,不等式恒成立,求实数的取值范围;

(2)(ⅰ)当时,求最大的正整数,使得任意个实数是自然对数的底数)都有成立;

(ⅱ)求证:

 

【答案】

(1);(2)(ⅰ)13;(ⅱ)详见解析.

【解析】

试题分析:(1)由直线与曲线相切可以求出中的参数.再由对内的一切实数,不等式恒成立,即上恒成立,然后构造函数,研究其导函数以确定其单调性,从而得到其最小值1.又,所以实数的取值范围是;(2)(ⅰ)先通过导函数确定上是增函数,从而得到上的最大值.由题意,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值.经计算知时不等式右边取得最小值,然后代入不等式,解得.因此,的最大值为;(ⅱ)根据(1)的推导时,,从而,再通过令代入化简即可得证.

试题解析:(1)设点为直线与曲线的切点,则有

.      (*)

.   (**)

由(*)、(**)两式,解得.    1分

整理,得

要使不等式恒成立,必须恒成立.    2分

时,,则是增函数,

是增函数,

因此,实数的取值范围是.     4分

(2)(ⅰ)当时,

上是增函数,上的最大值为

要对内的任意个实数都有

成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,

时不等式左边取得最大值,时不等式右边取得最小值.

,解得.因此,的最大值为.  8分

(ⅱ)证明:当时,根据(1)的推导有,时,

.令,得

化简得

.  13分

考点:1.用导数研究函数的单调性;2.函数的单调性与最值;3.不等式.

 

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