Question

5．（1）已知p：-x²+8x+20≥0，q：x²-2x+1-m²≤0（m＞0）．若“￢p”是“￢q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
（2）已知两个关于x的一元二次方程mx²-4x+4=0和x²-4mx+4m²-4m-5=0，求两方程的根都是整数的充要条件．

Answer 1

分析 （1）先求出p，q为真时的x的范围，根据q是p的充分不必要条件得到关于m的不等式组，解出即可；
（2）根据方程根的情况结合二次函数的性质求出m的范围，取交集即可．

解答 解：（1）p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m．-----（2分）
∵“非p”是“非q”的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件． 
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{1-m≥-2}\\{1+m≤10}\end{array}\right.$，∴0＜m≤3．
∴实数m的取值范围为0＜m≤3．-------（6分）
（2）∵mx²-4x+4=0是一元二次方程，∴m≠0．
又另一方程为x²-4mx+4m²-4m-5=0，且两方程都要有实根，
∴$\left\{\begin{array}{l}△1=16（1-m）≥0\\△2=16m2-4（4m2-4m-5）≥0\end{array}$，
解得m∈[-$\frac{5}{4}$，1]----（8分）
∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{m}∈Z\\ 4m∈Z，4m2-4m-5∈Z.\end{array}$
∴m为4的约数．又∵m∈[-$\frac{5}{4}$，1]，∴m=-1或1．
当m=-1时，第一个方程x²+4x-4=0的根为非整数；
而当m=1时，两方程的根均为整数，
∴两方程的根均为整数的充要条件是m=1．-----（12分）

点评 本题考查了充分必要条件，考查方程根的情况，是一道中档题．