Question

设函数y=log2(ax2-2x+2)定义域为A．
（1）若A=R，求实数a的取值范围；
（2）若log2(ax2-2x+2)＞2在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为A=R，所以ax²-2x+2＞0在x∈R上恒成立，根据二次函数的图象和性质，分析二次不等式恒成立时，a的取值范围，可得答案．
（2）若log2(ax2-2x+2)＞2在x∈[1，2]上恒成立，所以a＞

2x+2

x2

=2(

1

x

+

1

x2

)在x∈[1，2]上恒成立，求出不等式右侧的最大值，即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）因为A=R，所以ax²-2x+2＞0在x∈R上恒成立．
①当a=0时，由-2x+2＞0，得x＜1，不成立，舍去，
②当a≠0时，由

a＞0 △x=4-8a＜0

，得a＞

1

2

，
综上所述，实数a的取值范围是a＞

1

2

．
（2）依题有ax²-2x+2＞4在x∈[1，2]上恒成立，
所以a＞

2x+2

x2

=2(

1

x

+

1

x2

)在x∈[1，2]上恒成立，
令t=

1

x

，则由x∈[1，2]，得t∈[

1

2

，1]，
记g（t）=t²+t，由于g（t）=t²+t在t∈[

1

2

，1]上单调递增，
所以g（t）≤g（1）=2，
因此a＞4

点评：本题考查的知识点是对数函数的性质，恒成立问题，其中熟练掌握对数函数的单调性和定义域是解答本题的关键．