题目内容

设函数y=log2(mx2-2x+2)定义域为A,集合B=[
12
,2]

(1)A=R,求m的取值范围,
(2)A∩B≠∅,求m的取值范围
(3)log2(mx2-2x+2)>2在B上恒成立,求m的取值范围.
分析:(1)根据函数y=log2(mx2-2x+2)定义域为R,则mx2-2x+2>0在R上恒成立,讨论二次项系数与判别式可求出m的取值范围;
(2)根据A∩B≠∅,则mx2-2x+2>0在集合B=[
1
2
,2]
上有解,然后利用参数分离法进行求解即可;
(3)根据log2(mx2-2x+2)>2在B上恒成立,则mx2-2x-2>0在集合B=[
1
2
,2]
上恒成立,然后利用参数分离法进行求解即可.
解答:解:(1)∵函数y=log2(mx2-2x+2)定义域为R
∴mx2-2x+2>0在R上恒成立
当m=0时,x<1,不在R上恒成立,故舍去
当m≠0时
m>0
△<0
解得m>
1
2

∴A=R,求m的取值范围(
1
2
,+∞)
(2)∵A∩B≠∅,
∴mx2-2x+2>0在集合B=[
1
2
,2]
上有解
-
m
2
1
x2
-
1
x
在集合B=[
1
2
,2]
上有解
-
m
2
<(
1
x2
-
1
x
)max
=2
即m>-4
(3)∵log2(mx2-2x+2)>2在B上恒成立
∴mx2-2x-2>0在集合B=[
1
2
,2]
上恒成立
m
2
1
x2
+
1
x
在集合B=[
1
2
,2]
上恒成立
m
2
(
1
x2
+
1
x
)
max
=6
∴m>12
点评:本题主要考查了函数恒成立问题,以及函数的性质,同时考查了等价转化的数学思想,属于中档题.
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