题目内容
在正三棱锥P-ABC中,三条侧棱两两互相垂直,G是△PBA的重心,E,F分别是BC,PB上的点,且.(1)求证:平面GEF⊥平面PBC;(2)求证:GE是PG,BC的公垂线.
答案:
解析:
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证 (1)∵PA⊥PB,PA⊥PC,∴PA⊥平面PBC.连BG并延长交PA于M.∵G是△PBA的重心,∴∴,故GF∥PA.因此GF⊥平面PBC,∴平面GFE⊥平面PBC. (2)取EC的中点D,连FD,∵,∴FD∥PC,由PC=PB可得FD=FB,E是BD的中点,∴EF⊥BC,∵GF⊥平面PBC,∴EF是GE在平面PBC内的射影,于是GE⊥BC.取FB的中点N,连GN,∵G是△PAB的重心,设PG交AB于Q,于是,∴GN∥QB.∵QB⊥PQ,于是NG⊥PQ,NE∥PC,PC⊥平面PAB,∴NE⊥平面PAB,NG是GE在平面PAB内的射影,∴GE⊥PQ.因此,GE是PG和BC的公垂线. |
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