Question

设两个向量e₁，e₂，满足|e₁|＝2，|e₂|＝1，e₁与e₂的夹角为.若向量2te₁＋7e₂与e₁＋te₂的夹角为钝角，求实数t的范围．

Answer 1

－7<t<－且t≠－

【错解分析】∵2te₁＋7e₂与e₁＋te₂的夹角为钝角，
∴(2te₁＋7e₂)·(e₁＋te₂)<0，
∴2t²＋15t＋7<0，解之得：－7<t<－，
∴t的范围为(－7，－)．
【正解】∵2te₁＋7e₂与e₁＋te₂的夹角为钝角，
∴(2te₁＋7e₂)·(e₁＋te₂)<0且2te₁＋7e₂≠λ(e₁＋te₂)(λ<0)．
∵(2te₁＋7e₂)·(e₁＋te₂)<0得2t²＋15t＋7<0，
∴－7<t<－.
若2te₁＋7e₂＝λ(e₁＋te₂)(λ<0)，
∴(2t－λ) e₁＋(7－tλ) e₂＝0.
∴，即t＝－，
∴t的取值范围为：－7<t<－且t≠－.
【点评】本题错误的关键是没有把握准向量夹角与向量数量积的等价关系.一般地，向量a，b为非零向量，a与b的夹角为θ,则①θ为锐角?a·b>0且a, b不同向；②θ为直角?a·b=0；③θ为钝角?a·b<0且a·b不反向.
2te₁＋7e₂与e₁＋te₂的夹角为钝角?(2te₁＋7e₂)·(e₁＋te₂)<0.