Question

已知函数f（x）=

1 x-2 (x＞2) -x2-x+4(x≤2)

，则不等式f（x）≤2的解集是

（-∞，-2）∪[1，2]∪[

5

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：由不等式f（x）≤2可得①

x＞2 1 x-2 ≤2

，或 ②

x≤2 -x2-x+4≤2

．分别求出①、②的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：∵函数f（x）=

1 x-2 (x＞2) -x2-x+4(x≤2)

，∴由不等式f（x）≤2可得
①

x＞2 1 x-2 ≤2

，或 ②

x≤2 -x2-x+4≤2

．
解①可得 x≥

5

2

．解②可得 x≤-2，或1≤x≤2．
综上可得，不等式f（x）≤2的解集是（-∞，-2）∪[1，2]∪[

5

2

，+∞），
故答案为 （-∞，-2）∪[1，2]∪[

5

2

，+∞）．

点评：本题主要考查分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，体现了分类讨论以及转化的数学思想，属于中档题．