题目内容
（2009•大连二模）（I）已知函数f（x）=x-
，x∈(
，
)，P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))是f(x)图象上的任意两点，且x1＜x2．
①求直线PQ的斜率kPQ的取值范围及f（x）图象上任一点切线的斜率k的取值范围；
②由①你得到的结论是：若函数f（x）在[a，b]上有导函数f′（x），且f（a）、f（b）存在，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=
成立（用a，b，f（a），f（b）表示，只写出结论，不必证明）
（II）设函数g（x）的导函数为g′（x），且g′（x）为单调递减函数，g（0）=0．试运用你在②中得到的结论证明：
当x∈（0，1）时，f（1）x＜g（x）．
| 1 |
| x |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
①求直线PQ的斜率kPQ的取值范围及f（x）图象上任一点切线的斜率k的取值范围；
②由①你得到的结论是：若函数f（x）在[a，b]上有导函数f′（x），且f（a）、f（b）存在，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=
| f(b)-f(a) |
| b-a |
| f(b)-f(a) |
| b-a |
（II）设函数g（x）的导函数为g′（x），且g′（x）为单调递减函数，g（0）=0．试运用你在②中得到的结论证明：
当x∈（0，1）时，f（1）x＜g（x）．
分析：（I）①由于f（x）=x-
，x∈（
，
），依题意，可求得直线PQ的斜率kPQ=1-
∈（-15，-3）．②依题意，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=
；
（II）当x∈（0，1），根据（1）中②的结论，得到存在ξ1∈（0，x），ξ2∈（x，1），使得g′（ξ1）=
，g′（ξ2）=
，再利用g′（x）为单调递减函数，g（0）=0，即可证得g（1）x＜g（x）．
| 1 |
| x |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| x2x1 |
| f(b)-f(a) |
| b-a |
（II）当x∈（0，1），根据（1）中②的结论，得到存在ξ1∈（0，x），ξ2∈（x，1），使得g′（ξ1）=
| g(x)-g(0) |
| x-0 |
| g(1)-g(x) |
| 1-x |
解答：解：（1）①直线PQ的斜率kPQ=
=1-
，
由于
＜x1＜x2＜
，所以-15＜1-
＜-3，
即直线PQ的斜率kPQ∈（-15，-3）．…（2分）
由f′（x）=1-
，又x∈（
，
），所以f′（x）∈（-15，-3），
即f（x）图象上任一点切线的斜率k的取值范围为k∈（-15，-3）．…（4分）
②
．…（6分）
（2）当x∈（0，1），根据（1）中②的结论，得到存在ξ1∈（0，x），ξ2∈（x，1），使得
g′（ξ1）=
，g′（ξ2）=
，…（9分）
又g′（x）为单调递减函数，所以g′（ξ1）＞g′（ξ2），
即
＞
，而g（0）=0，
所以
＞
，
因为x∈（0，1），所以x＞0，1-x＞0
所以g（1）x＜g（x）．…（12分）
| f(x2)-f(x1) |
| x2-x1 |
| 1 |
| x2x1 |
由于
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| x2x1 |
即直线PQ的斜率kPQ∈（-15，-3）．…（2分）
由f′（x）=1-
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
即f（x）图象上任一点切线的斜率k的取值范围为k∈（-15，-3）．…（4分）
②
| f(b)-f(a) |
| b-a |
（2）当x∈（0，1），根据（1）中②的结论，得到存在ξ1∈（0，x），ξ2∈（x，1），使得
g′（ξ1）=
| g(x)-g(0) |
| x-0 |
| g(1)-g(x) |
| 1-x |
又g′（x）为单调递减函数，所以g′（ξ1）＞g′（ξ2），
即
| g(x)-g(0) |
| x-0 |
| g(1)-g(x) |
| 1-x |
所以
| g(x) |
| x |
| g(1)-g(x) |
| 1-x |
因为x∈（0，1），所以x＞0，1-x＞0
所以g（1）x＜g（x）．…（12分）
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查直线的斜率及利用不等式确定斜率之范围，考查导数的几何意义及综合应用，属于难题．
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