题目内容
已知函数是R上的偶函数,对于任意都有成立,当,且时,都有给出下列命题:
① ②直线是函数的图像的一条对称轴;
③函数在[-9,-6]上为增函数; ④函数在[-9,9]上有4个零点。
其中正确的命题为. (将所有正确命题的编号都填上)
①②④
解析试题分析:取,得,而,
所以,命题①正确;从而已知条件可化为,
于是 ,所以是其一条对称轴,命题②正确;因为当,且时,都有,所以此时单调递增,从而在上单调递减,又从上述过程可知原函数的周期为6,从而当时,,,此时为减函数,所以命题③错误;同理,在[3,6]上单调递减,所以只有,得命题④正确.综上所述,正确命题的序号为①②④.
考点:函数的奇偶性单调性周期性等性质的考查
点评:函数的性质的考查一直以来都是热点,尤其以奇偶性单调性周期性最为常见,求解本题的入手点在于通过中x的恰当的赋值得到周期性及图像过的特殊点
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