题目内容
已知数列{an}中，a1=2，对于任意的p，q∈N+，有ap+q=ap+aq，数列{bn}满足：an=
-
+
-
+…+(-1)n-1
，（n∈N•），
（1）求数列{an}的通项公式和数列{bn}的通项公式；
（2）设Cn=3n+λbn(n∈N•)，是否存在实数λ，当n∈N+时，Cn+1＞Cn恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．
| b1 |
| 2+1 |
| b2 |
| 22+1 |
| b3 |
| 23+1 |
| b4 |
| 24+1 |
| bn |
| 2n+1 |
（1）求数列{an}的通项公式和数列{bn}的通项公式；
（2）设Cn=3n+λbn(n∈N•)，是否存在实数λ，当n∈N+时，Cn+1＞Cn恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．
分析：（1）取p=n，q=1，则an+1=an+a1=an+2，所以an+1-an=2，由此能求出数列{an}的通项公式．由an=
-
+
-
+…+(-1)n-1
（n≥1），知an-1=
-
+
-
+…+(-1)n-2
（n≥2），所以(-1)n-1
=2（n≥2）bn=（-1）n-1（2n+1+2），由此能够得到bn．
（2）Cn=3n+（-1）n-1（2n+1+2）•λ．假设存在λ，使Cn+1＞Cn（n∈N*）3n+1+（-1）n（2n+2+2）•λ＞3n+（-1）n-1（2n+1+2）•λ[（-1）n（2n+2+2）-（-1）n-1（2n+1+2）]•λ＞3n-3n+1=-2•3n（-1）n（3•2n+1+4）•λ＞-2•3n．再由n的奇偶性进行分类讨论知存在实数λ，且λ∈（-
，
）．
| b1 |
| 2+1 |
| b2 |
| 22+1 |
| b3 |
| 23+1 |
| b4 |
| 24+1 |
| bn |
| 2n+1 |
| b1 |
| 2+1 |
| b2 |
| 22+1 |
| b3 |
| 23+1 |
| b4 |
| 24+1 |
| bn-1 |
| 2n-1+1 |
| bn |
| 2n+1 |
（2）Cn=3n+（-1）n-1（2n+1+2）•λ．假设存在λ，使Cn+1＞Cn（n∈N*）3n+1+（-1）n（2n+2+2）•λ＞3n+（-1）n-1（2n+1+2）•λ[（-1）n（2n+2+2）-（-1）n-1（2n+1+2）]•λ＞3n-3n+1=-2•3n（-1）n（3•2n+1+4）•λ＞-2•3n．再由n的奇偶性进行分类讨论知存在实数λ，且λ∈（-
| 9 |
| 14 |
| 3 |
| 8 |
解答：解：（1）取p=n，q=1，则an+1=an+a1=an+2
∴an+1-an=2（n∈N*）
∴{an}是公差为2，首项为2的等差数列
∴an=2n
∵an=
-
+
-
+…+(-1)n-1
（n≥1）①
∴an-1=
-
+
-
+…+(-1)n-2
（n≥2）②
①-②得：(-1)n-1
=2（n≥2）bn=（-1）n-1（2n+1+2）（n≥2）
当n=1时，a1=
∴b1=6满足上式
∴bn=（-1）n-1（2n+1+2）（n∈N*）
（2）Cn=3n+（-1）n-1（2n+1+2）•λ
假设存在λ，使Cn+1＞Cn（n∈N*）3n+1+（-1）n（2n+2+2）•λ＞3n+（-1）n-1（2n+1+2）•λ[（-1）n（2n+2+2）-（-1）n-1（2n+1+2）]•λ＞3n-3n+1=-2•3n（-1）n（3•2n+1+4）•λ＞-2•3n
当n为正偶函数时，（3•2n+1+4）λ＞-2•3n恒成立λ＞（-
）max=（-
）max
当n=2时（-
）max=-
∴λ＞-
当n为正奇数时，-（3•2n+1+4）•λ＞-2•3n恒成立
∴λ＜（
）min=（
）min
当n=1时[
]min=
∴λ＜
综上，存在实数λ，且λ∈（-
，
）（16分）
∴an+1-an=2（n∈N*）
∴{an}是公差为2，首项为2的等差数列
∴an=2n
∵an=
| b1 |
| 2+1 |
| b2 |
| 22+1 |
| b3 |
| 23+1 |
| b4 |
| 24+1 |
| bn |
| 2n+1 |
∴an-1=
| b1 |
| 2+1 |
| b2 |
| 22+1 |
| b3 |
| 23+1 |
| b4 |
| 24+1 |
| bn-1 |
| 2n-1+1 |
①-②得：(-1)n-1
| bn |
| 2n+1 |
当n=1时，a1=
| b1 |
| 3 |
∴bn=（-1）n-1（2n+1+2）（n∈N*）
（2）Cn=3n+（-1）n-1（2n+1+2）•λ
假设存在λ，使Cn+1＞Cn（n∈N*）3n+1+（-1）n（2n+2+2）•λ＞3n+（-1）n-1（2n+1+2）•λ[（-1）n（2n+2+2）-（-1）n-1（2n+1+2）]•λ＞3n-3n+1=-2•3n（-1）n（3•2n+1+4）•λ＞-2•3n
当n为正偶函数时，（3•2n+1+4）λ＞-2•3n恒成立λ＞（-
| 3n |
| 3•2n+2 |
| 1 | ||||
3•(
|
当n=2时（-
| 1 | ||||
3•(
|
| 9 |
| 14 |
∴λ＞-
| 9 |
| 14 |
当n为正奇数时，-（3•2n+1+4）•λ＞-2•3n恒成立
∴λ＜（
| 3n |
| 3•2n+2 |
| 1 | ||||
3•(
|
当n=1时[
| 1 | ||||
3•(
|
| 3 |
| 8 |
∴λ＜
| 3 |
| 8 |
综上，存在实数λ，且λ∈（-
| 9 |
| 14 |
| 3 |
| 8 |
点评：本题主要考查了不等式的性质和应用，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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已知数列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，则数列{an}的通项公式为（ ）
A、
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B、
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C、
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D、
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