题目内容
【题目】判断命题“已知a , x为实数,如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假.
【答案】【解答】
解:原命题:已知a , x为实数,如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1.
逆否命题:已知a , x为实数,如果a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.
判断如下:
抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上,
判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.
∵a<1,∴4a-7<0,
即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点,
∴关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,故逆否命题为真。
【解析】直接由原命题写出其逆否命题,然后判断逆否命题的真假.
【考点精析】本题主要考查了复合命题的真假的相关知识点,需要掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反;“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真,其他情况时为假;“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况时为真才能正确解答此题.
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