Question

16．若直线y=$\frac{1}{e}$x+b（e是自然对数的底数）是曲线y=lnx的一条切线，则实数b的值是0．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，建立方程组关系即可．

解答 解：函数的导数为y′=f′（x）=$\frac{1}{x}$，
设切点为（x₀，y₀），
则切线斜率k=f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
则对应的切线方程为y-y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），
即y=$\frac{1}{{x}_{0}}$x-1+lnx₀，
∵直线y=$\frac{1}{e}$x+b（e是自然对数的底数）是曲线y=lnx的一条切线，
∴$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{e}$且b=lnx₀-1，
解得x₀=e，b=lne-1=1-1=0，
故答案为：0

点评 本题主要考查函数切线的求解，利用导数的几何意义建立方程组关系是解决本题的关键．