Question

已知函数f(x)=log3

3x

1-x

．
（1）证明函数f（x）的图象关于点(

1

2

，1)对称；
（2）若Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)(n∈N+，n≥2)，求S_n；
（3）在（2）的条件下，若an=

1，n=1 1 (Sn+1)(Sn+1+1) ，n≥2

（n∈N₊），T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜mS_n+2对一切n∈N₊都成立，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）确定函数f(x)=log3

3x

1-x

的定义域，设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）是函数y=f（x）图象上的两点，其中x₁，x₂∈（0，1）且x₁+x₂=1，证明f（x₁）+f（x₂）=2即可；
（2）由（1）知当x₁+x₂=1时，f（x₁）+f（x₂）=2，将条件倒序，再相加，即可求S_n；
（3）利用裂项法求数列的和，将T_n＜mS_n+2对一切n∈N₊都成立，转化为2m＞

3n+1

n2+2n+1

恒成立，确定右边的最大值，即可得到m的取值范围．

解答：（1）证明：因为函数f(x)=log3

3x

1-x

的定义域为（0，1），
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）是函数y=f（x）图象上的两点，其中x₁，x₂∈（0，1）且x₁+x₂=1，
则有y1+y2=f(x1)+f(x2)=log3

3x1

1-x1

+log3

3x2

1-x2

=log3

9x1x2

1-(x1+x2)+x1x2

=2
因此函数图象关于点(

1

2

，1)对称             …（4分）
（2）解：由（1）知当x₁+x₂=1时，f（x₁）+f（x₂）=2
由Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)①，可得Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…f(

2

n

)+f(

1

n

)  ②
①+②得S_n=n-1…（8分）
（3）解：当n≥2时，an=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

当n=1时，a₁=1，T₁=1
当n≥2时，Tn=1+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)═

3

2

-

1

n+1

=

3n+1

2(n+1)

∴Tn=

3n+1

2(n+1)

（n∈N₊）
又T_n＜mS_n+2对一切n∈N₊都成立，即

3n+1

2(n+1)

＜m(n+1)恒成立
∴2m＞

3n+1

n2+2n+1

恒成立，
又设f(n)=

3n+1

n2+2n+1

，f′(n)=

1-3n

(n+1)3

＜0，所以f（n）在n∈N₊上递减，所以f（n）在n=1处取得最大值1
∴2m＞1，即m＞

1

2

所以m的取值范围是(

1

2

，+∞)…（12分）

点评：本题考查函数的对称性，考查数列的求和，考查裂项法，考查恒成立问题，分离参数，确定函数的最值时关键．