题目内容

已知 $数学公式$ ≤a≤1，若f（x）=ax²-2x+1在区间[1，3]上的最大值M（a），最小值N（a），设g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的解析式；
（2）判断g（a）单调性，求g（a）的最小值．

解：（1）当 $\text{[math]}$ ≤a≤ $\text{[math]}$ 时N（a）=f（ $\text{[math]}$ ），M（a）=f（1），
此时g（a）=f（1）-f（ $\text{[math]}$ ）=a+ $\text{[math]}$ -2；
当 $\text{[math]}$ ＜a≤1时N（a）=f（ $\text{[math]}$ ），M（a）=f（3），
此时g（a）=f（3）-f（ $\text{[math]}$ ）=9a+ $\text{[math]}$ -6；
∴g（a）= $\text{[math]}$ …（6分）
（2）当 $\text{[math]}$ ≤a≤ $\text{[math]}$ 时，∵g（a）=a+ $\text{[math]}$ -2，∴g′（a）=1- $\text{[math]}$ ＜0，
∴g（a）在[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上单调递减．
同理可知g（a）在（ $\text{[math]}$ ，1]上单调递增
∴g（a）_min=g（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（1）根据已知条件a＞0，知函数是二次函数，其图象是开口向上的抛物线．因此讨论对称轴：x= $\text{[math]}$ 与区间[1，3]的关系，得到函数的单调性后再找出相应的最值，即可得g（a）的解析式；
（2）通过求导数，讨论其正负，可得到函数g（a）在区间[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上单调减，而在（ $\text{[math]}$ ，1]上单调增，因此不难得出
g（a）的最小值为g（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题，属于基础题．研究二次函数的最值的关键是用其图象，或用导数研究它的单调性．