题目内容
已知椭圆：
+y2=1中，F1、F2分科技别为左、右焦点，过F2作椭圆的弦AB．
（1）求证：
+
为定值；
（2）求△F1AB面积的最大值．
| x2 |
| 5 |
（1）求证：
| 1 |
| |F2A| |
| 1 |
| |F2B| |
（2）求△F1AB面积的最大值．
分析：（1）由题意a2=5，b2=1，可得F1（-2，0），F2（2，0）．若AB斜率存在，设直线AB：y=k（x-2）与椭圆方程联立，进而可表示
+
，化简可知为定值．当AB⊥x轴时，
+
=2
也成立，从而得证．
（2）设AB倾斜角为θ，进而可得S△F1AB=
=
．根据0＜θ＜π，可得sinθ＞0，从而可求△F1AB面积的最大值．
| 1 |
| |F2A| |
| 1 |
| |F2B| |
| 1 |
| |F2A| |
| 1 |
| |F2B| |
| 5 |
（2）设AB倾斜角为θ，进而可得S△F1AB=
4
| ||
| cos2θ+5sin2θ |
4
| ||
| 1+4sin2θ |
解答：（1）证明：∵a2=5，b2=1
∴F1（-2，0），F2（2，0）
若AB斜率存在，设直线AB：y=k（x-2）
由
⇒(5k2+1)x2-20k2x+20k2-5=0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：x1+x2=
．x1•x2=
∵|F2A|=a-ex=
-
x1，|F2B|=
-
x2
∴
+
=
=2
为定值．
当AB⊥x轴时，
+
=2
也成立．
∴
+
=定值．
（2）解：设AB倾斜角为θ
|AB|=|F2A|+|F2B|=2
-
(x1+x2)=
=
设F1到AB距离为d．则d=2•csinθ=4sinθ．
∴S△F1AB=
=
．
∴0＜θ＜π
∴sinθ＞0
∴S△F1AB=
≤
．
当且仅当sinθ=
，即θ=30°或150°，△F1AB面积的最大值为
．
∴F1（-2，0），F2（2，0）
若AB斜率存在，设直线AB：y=k（x-2）
由
|
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：x1+x2=
| 20k2 |
| 5k2+1 |
| 5(4k2-1) |
| 5k2+1 |
∵|F2A|=a-ex=
| 5 |
| 2 | ||
|
| 5 |
| 2 | ||
|
∴
| 1 |
| |F2A| |
| 1 |
| |F2B| |
2
| ||||||
5-2(x1+x2)+
|
| 5 |
当AB⊥x轴时，
| 1 |
| |F2A| |
| 1 |
| |F2B| |
| 5 |
∴
| 1 |
| |F2A| |
| 1 |
| |F2B| |
（2）解：设AB倾斜角为θ
|AB|=|F2A|+|F2B|=2
| 5 |
| 2 | ||
|
2
| ||
| 5k2+1 |
2
| ||
| cos2θ+5sin2θ |
设F1到AB距离为d．则d=2•csinθ=4sinθ．
∴S△F1AB=
4
| ||
| cos2θ+5sin2θ |
4
| ||
| 1+4sin2θ |
∴0＜θ＜π
∴sinθ＞0
∴S△F1AB=
4
| ||
|
| 5 |
当且仅当sinθ=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
点评：本题以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查面积最值的求解，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知直线y=kx+1与椭圆
+
=1恒有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
| x2 |
| 5 |
| y2 |
| m |
| A、m≥1 |
| B、m≥1，或0＜m＜1 |
| C、0＜m＜5，且m≠1 |
| D、m≥1，且m≠5 |