题目内容
已知函数
.
(Ⅰ)当
时,求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若a>0,讨论f(x)的单调性.
解:(Ⅰ)f(x)的定义域为{x|x>0},….(1分)
当a=-
时,f′(x)=-
,….(2分)
令f′(x)=0,在[1,e]上得极值点x=2,
….(4分)
∵f(1)=-
,f(e)=2-
,….(5分)
f(1)<f(e),
∴f(x)max=f(2)=2ln2-1,f(x)min=f(1)=-
.….(7分)
(Ⅱ)f′(x)=
,….(8分)
①0<a<
时,由f′(x)>0得0<x<2或x>
,
所以f(x)的单调增区间是(0,2),(
,+∞),
由f′(x)<0得2<x<
,
所以f(x)的单调减区间是(2,
); ….(10分)
②a=
时,f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,且当且仅当f′(2)=0,
∴f(x)在(0,+∞)单调递增; ….(11分)
③当a>
时,由f′(x)>0得0<x<
或x>2,
所以f(x)的单调增区间是(0,
),(2,+∞),
由f′(x)<0得
<x<2,
所以f(x)的单调减区间是(
,2).….(13分)
分析:(Ⅰ)当a=-
时,可求得f′(x),令f′(x)=0,可求得极值点,将x的取值情况,f′(x)正负情况及f(x)的增减情况列表,可求得函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)由于2-
=
,对0<a<
,a=
及a>
时分类讨论,根据f′(x)的正负情况即可得到函数的单调区间.
点评:本题考查利用导数求闭区间上函数的最值,突出考查利用导数研究函数的单调性,考查分类讨论思想与分析推理能力,属于难题.
当a=-


令f′(x)=0,在[1,e]上得极值点x=2,
x | [1,2) | 2 | (2,e] |
f′(x) | + | 0 | - |
f(x) | 增 | 2ln2-1 | 减 |
∵f(1)=-


f(1)<f(e),
∴f(x)max=f(2)=2ln2-1,f(x)min=f(1)=-

(Ⅱ)f′(x)=

①0<a<


所以f(x)的单调增区间是(0,2),(

由f′(x)<0得2<x<

所以f(x)的单调减区间是(2,

②a=

∴f(x)在(0,+∞)单调递增; ….(11分)
③当a>


所以f(x)的单调增区间是(0,

由f′(x)<0得

所以f(x)的单调减区间是(

分析:(Ⅰ)当a=-

(Ⅱ)由于2-





点评:本题考查利用导数求闭区间上函数的最值,突出考查利用导数研究函数的单调性,考查分类讨论思想与分析推理能力,属于难题.

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